Mathematik

Doch damit war das eigentliche wissenschaftliche Denken nicht zerstört, sondern nur auf seinen richtigen Platz gewiesen. Der Impuls seiner Weiterentwicklung kam aus der reinen und angewandten Mathematik und Logik als Grundlage der statistischen Wahrscheinlichkeit, welcher abseits von der philosophischen Öffentlichkeit die seit Leibniz umwälzendsten Entdeckungen gelungen waren.

Die Vorbedingungen dieser Entdeckungen liegen in den Werken der Mathematiker Graßmann, Cantor und Riemann. Graßmann ist der Begründer der Ausdehnungslehre, die er wohl der indischen Philosophie verdankt; er war nicht nur ein bedeutender Mathematiker, sondern gleichzeitig der größte Sanskritforscher der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts. Ihm gelang es, den Begriff der Ausdehnung — der unserem heutigen Bild des wachsenden Universums zugrundeliegt, wo die entferntesten Sternensysteme am schnellsten von uns forteilen, und wo auf eine Periode der Expansion eine solche der Kontraktion im Einklang mit der Vorstellung des Atems Brahmas folgt — mathematisch zu begründen. Riemann befreite das europäische Denken aus seiner falschen Gewohnheit, in der es seit der Griechenzeit befangen war: dass nämlich die dreidimensionale Geometrie das einzig richtige Bild der Wirklichkeit vermittle. Für jede Anzahl vorstellbarer oder auch nur denkbarer Dimensionen gibt es eine eigene Mathematik, deren Gesetze nur in ihr selbst gültig sind, bei anderen aber zu Aporien des Denkens führen. So ist die Mathematik des vierdimensionalen einsteinschen Raumzeitkontinuums unserer Wirklichkeit am besten angepasst. Beharrende mechanische Gebilde lassen sich dagegen zufriedenstellend nach den Gesetzen der euklidischen dreidimensionalen Geometrie begreifen, und bestimmte Vorstellungen überhaupt nur mit einer n-dimensionalen Geometrie durchdenken.

Wie schon Cusanus feststellte, besteht zwischen den Dimensionen das Verhältnis von eins zu unendlich. Leibniz betrachtete diese Unendlichkeit als Zeichen des qualitativen Sprungs, und Hegel als denkerisches Mittel zum Verständnis der Dialektik. Georg Cantor zeigte nun, dass die Unendlichkeit nicht nur ein Limes ist, sondern dass sich Unendlichkeiten als Mengen miteinander vergleichen lassen. So wies er nach, dass die Menge aller abzählbaren Einheiten gleich mächtig sei, da man unter jede der natürlichen Zahlen sowohl eine gerade Zahl, eine Primzahl als auch einen Bruch schreiben könne:

1
2 2
4 3
6 4
8 5
10 6
12 ·
· ·
· ·
·

So ist im Unendlichen das Paradoxon wahr, dass der Teil gleich dem Ganzen ist. Es lässt sich aber beweisen, dass das Kontinuum eine größere Mächtigkeit besitzt als die abzählbaren Mengen, und wieder um eine Unendlichkeit größer wären die Funktionen. Cantor bezeichnete die Reihe der Mächtigkeiten der Menge als Aleph 0, Aleph 1, Aleph 2 usw., nahm also hier, wie Riemann in der Geometrie, eine unendliche Reihe an.

Unendlichkeiten sind erkennbare und bestimmbare Faktoren des Denkens; das dreidimensionale Weltbild war im gleichen Sinne ein gewählter Ausschnitt der Wirklichkeit wie etwa die albertische Perspektive in der Malerei. Mit dieser Befreiung des Denkens tauchte nun aber die Frage auf, welche Kriterien sich als absolut gültig sowohl für die Logik als auch für die Mathematik ermitteln ließen.